Duplicação do cubo

A duplicação do cubo ou o problema de Delos é o problema de geometria que consiste em obter um método para, dada a aresta de um cubo,construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial.

DUPLICAÇÃO DO CUBO 

A HISTÓRIA DO PROBLEMA 

Dos três famosos problemas clássicos da matemática grega - a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo - extremamente importantes no desenvolvimento da geometria, a duplicação do cubo foi talvez o mais famoso, na Antiguidade. A duplicação do cubo é um problema de enunciado muito simples e talvez por esse motivo tenha despertado o interesse de matemáticos, e não só, ao longo dos tempos. Mas a primeira questão que se coloca ao escrever sobre este problema é: como terá surgido o problema da duplicação do cubo ?

Florian Cajori afirma: "Os Pitagóricos mostraram que a diagonal de um quadrado é o lado de um outro quadrado com o dobro da área do primeiro. Isto provavelmente sugere o problema da duplicação do cubo, isto é, encontrar a aresta de um cubo com o dobro do volume dum cubo dado." 

Fonte: Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/capitulo2.htm

acesso em: 12/06/2014

Os geômetras da época tinham conhecimento que para duplicar  um quadrado bastava considerar para lado do quadrado procurado a diagonal do quadrado original. Isto é, se um quadrado tem lado 1 e procuramos um quadrado com o dobro da área deste, basta construir um quadrado de lado. Assim, para duplicar um quadrado de aresta a basta construir um quadrado de aresta . É então natural surgir a questão de transpor este problema para figuras sólidas, sendo de esperar que se comece por um cubo.

Fonte: Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/miguel/tese/capitulo2.htm

Fonte: Disponível em: 12/06/2014

A SOLUÇÃO DE ARQUITAS

Arquitas de Tarento, geômetra do séc. IV a.C., é o autor da mais antiga solução para o problema da duplicação do cubo, da qual temos conhecimento através de uma passagem de Eudémio de Rodes reproduzida nos escritos de Eutócio.

Pensamos que a notoriedade desta solução, de extrema beleza e absolutamente rigorosa, não lhe advém só pelo facto de ser a primeira mas, principalmente, por ser uma construção engenhosa a três dimensões (e não no plano). Esta construção envolve a procura de um certo ponto, obtido pela intersecção de três superfícies de revolução - um cone recto, um cilindro e um toro. A intersecção do cilindro com o toro é uma curva e o ponto pretendido obtém-se pela intersecção desta curva com o cone. 

"(...) curva de dupla curvatura, à qual Arquitas não deu denominação especial - provavelmente o primeiro exemplo duma curva deste gênero concebida por um geómetra -, cuja construção mostra que a Escola Pitagórica empregava, já nesta época, o conceito de logar geométrico e fazia uso da geometria do espaço (...).".
       A solução proposta por Arquitas, além de ser uma solução de extrema beleza geométrica, revela uma excelente inovação por parte deste matemático, nomeadamente por utilizar movimentos mecânicos na solução de um problema geométrico.

"A solução de Arquitas é a mais notável de todas, especialmente quando é considerada a sua data (primeira metade do século quarto a.C.), porque não é uma construção plana mas uma construção corajosa a três dimensões, determinando um certo ponto como a intersecção de três superfícies de revolução (...)."

                                       Imagem obtida com o Software Graphing Calculator

Fonte: Disponível em: http://www.prof2000.pt/users/miguel/histmat/af18/materiais/texto12.htm

acesso em: 12/06/2014